Discussione di un'equazione parametrica

Vediamo come si conduce in concreto una discussione, distinguendo tutti i casi che i parametri possono generare.

Esempio

Risolvere $a^2x + ax - ab = 0$ al variare di $a,b\in\mathbb{R}$.

Raccogliamo la $x$: $x(a^2+a) = ab$, cioè $x\cdot a(a+1) = ab$.

Discussione:

• Se $a\neq 0$ e $a\neq -1$: il coefficiente $a(a+1)\neq 0$, dunque $x = \frac{ab}{a(a+1)} = \boxed{\dfrac{b}{a+1}} \quad\text{(soluzione unica)}$
• Se $a = 0$: l’equazione diventa $0 = 0$, sempre vera $\implies$ indeterminata (infinite soluzioni).
• Se $a = -1$: l’equazione diventa $0 = -b$, e occorre distinguere ancora:
  • se $b=0$: $0=0 \implies$ indeterminata;
  • se $b\neq 0$: $0 = -b \neq 0 \implies$ impossibile (nessuna soluzione).

L’esempio mostra la logica generale: si isola il coefficiente dell’incognita, lo si annulla per trovare i valori “critici” dei parametri e si analizza separatamente ciascuno di essi.

Collegamenti

Argomenti: Equazioni primo grado
Concetti: Discussione parametrica · Equazione impossibile · Equazione indeterminata · Equazione letterale · Parametro
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere equazioni