La somma di cubi n cubo più otto non è mai prima

Testo

Dimostra che, per ogni intero $n > 1$, il numero $n^3 + 8$ non è primo.

Soluzione

Scriviamo $8 = 2^3$ e usiamo la scomposizione della somma di cubi $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$ con $x = n$, $y = 2$: $n^3 + 8 = (n + 2)\,(n^2 - 2n + 4).$ Verifichiamo che entrambi i fattori siano maggiori di $1$ quando $n > 1$:

• $n + 2 > 3 > 1$;
• $n^2 - 2n + 4 = (n-1)^2 + 3 \ge 3 > 1$.

Dunque $n^3 + 8$ è prodotto di due interi entrambi $> 1$, quindi è composto (non primo). $\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Calcolo letterale
Concetti: Prodotti notevoli · Scomposizione in fattori
Competenze: Dimostrare · Scomporre
Tipo di esercizio: Dimostrazione