MCD e mcm di polinomi

Le stesse idee di MCD e mcm che abbiamo usato con i numeri si applicano anche ai polinomi, una volta che sappiamo scomporli in fattori. Bastano la scomposizione in fattori irriducibili e un diagramma di Venn per leggere fattori comuni e non comuni.

• MCD e mcm di polinomi
• Diagramma di Venn per MCD e mcm
• MCD e mcm con la scomposizione

The same ideas of GCD and LCM that we used with numbers apply to polynomials as well, once we know how to factorise them. All it takes is factorisation into irreducible factors and a Venn diagram to read off common and non-common factors.

• GCD and LCM of polynomials
• Venn diagram for GCD and LCM
• GCD and LCM with factorisation

Le stesse idee di MCD e mcm che abbiamo usato con i numeri si applicano anche ai polinomi, una volta che sappiamo scomporli in fattori.

Proprietà — MCD e mcm

Per calcolare MCD e mcm di due o più polinomi (o numeri):

1. Si scompone ciascun elemento in fattori irriducibili (o primi).
2. MCD: prodotto dei fattori comuni con l’esponente minore.
3. mcm: prodotto di tutti i fattori con l’esponente maggiore.

Collegamenti

Argomenti: Calcolo letterale
Concetti: Mcd · Mcm · Scomposizione in fattori
Competenze: Calcolare

The same ideas of GCD and LCM that we used with numbers apply to polynomials as well, once we know how to factorise them.

Property — GCD and LCM

To calculate the GCD and LCM of two or more polynomials (or numbers):

1. Factorise each element into irreducible (or prime) factors.
2. GCD: product of the common factors with the lower exponent.
3. LCM: product of all the factors with the higher exponent.

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Topics: Algebraic calculation
Concepts: GCD · LCM · Factorisation
Skills: Calculating

Osservazione — Diagramma di Venn per MCD e mcm di numeri

I fattori primi di due (o tre) numeri si distribuiscono in un diagramma di Venn: i fattori nell’intersezione danno il MCD, tutti i fattori danno il mcm.

L’intersezione dei fattori dà il MCD; l’unione di tutti i fattori dà il mcm.

Collegamenti

Argomenti: Calcolo letterale
Concetti: Mcd · Mcm
Competenze: Interpretare grafico

Observation — Venn diagram for GCD and LCM of numbers

The prime factors of two (or three) numbers are distributed in a Venn diagram: the factors in the intersection give the GCD, all the factors give the LCM.

The intersection of the factors gives the GCD; the union of all the factors gives the LCM.

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Topics: Algebraic calculation
Concepts: GCD · LCM
Skills: Interpreting graphs

Esempio — MCD e mcm con la scomposizione

Calcolare MCD e mcm di $P_1 = 2x^3+3x^2-2x-3$ e $P_2 = x^4+2x^2-3$.

Scomposizione di $P_1$ (raccoglimento parziale):

2x^3+3x^2-2x-3 &= x^2(2x+3) - (2x+3) \\ &= (x^2-1)(2x+3) = \boxed{(x-1)(x+1)(2x+3)} \end{aligned}$$ **Scomposizione di $P_2$** (sostituzione $t=x^2$): $$\begin{aligned} x^4+2x^2-3 &= t^2+2t-3 = (t-1)(t+3) \\ &= (x^2-1)(x^2+3) = \boxed{(x-1)(x+1)(x^2+3)} \end{aligned}$$

Osservazione

$x^2+3$ è irriducibile in $\mathbb{R}$: è sempre positivo, quindi non ha radici reali.

Confrontando i fattori dei due polinomi:

Il MCD raccoglie i fattori comuni, il mcm tutti i fattori: $\text{MCD} = \boxed{(x-1)(x+1)}, \qquad \text{mcm} = \boxed{(x-1)(x+1)(2x+3)(x^2+3)}$

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Argomenti: Calcolo letterale
Concetti: Mcd · Mcm · Polinomio irriducibile · Scomposizione in fattori
Competenze: Calcolare · Scomporre

Example — GCD and LCM with factorisation

Calculate the GCD and LCM of $P_1 = 2x^3+3x^2-2x-3$ and $P_2 = x^4+2x^2-3$.

Factorisation of $P_1$ (partial grouping):

2x^3+3x^2-2x-3 &= x^2(2x+3) - (2x+3) \\ &= (x^2-1)(2x+3) = \boxed{(x-1)(x+1)(2x+3)} \end{aligned}$$ **Factorisation of $P_2$** (substitution $t=x^2$): $$\begin{aligned} x^4+2x^2-3 &= t^2+2t-3 = (t-1)(t+3) \\ &= (x^2-1)(x^2+3) = \boxed{(x-1)(x+1)(x^2+3)} \end{aligned}$$

Observation

$x^2+3$ is irreducible in $\mathbb{R}$: it is always positive, so it has no real roots.

Comparing the factors of the two polynomials:

The GCD collects the common factors, the LCM all the factors: $\text{MCD} = \boxed{(x-1)(x+1)}, \qquad \text{mcm} = \boxed{(x-1)(x+1)(2x+3)(x^2+3)}$

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Topics: Algebraic calculation
Concepts: GCD · LCM · Irreducible polynomial · Factorisation
Skills: Calculating · Factorising