Matematica — Liceo

Il metodo delle forme

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tagsmatematica, classe/prima, topic/calcolo-letterale, concept/prodotti-notevoli, concept/quadrato-di-binomio, skill/usare-formule, skill/calcolare

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Osservazione — Metodo delle forme

Per applicare le formule dei prodotti notevoli, si assegnano forme geometriche ai termini: il primo termine è il “cerchio” ◯\textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}, il secondo è il “quadrato” □\textcolor{#d62728}{\square}.

Esempio: (2−3ab)3=(◯+□)3(2-3ab)^3 = (\textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}+\textcolor{#d62728}{\square})^3 con ◯=2\textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}=2 e □=−3ab\textcolor{#d62728}{\square}=-3ab. =◯3+3 ◯2 □+3 ◯ □2+□3= \textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}^3 + 3\,\textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}^2\,\textcolor{#d62728}{\square} + 3\,\textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}\,\textcolor{#d62728}{\square}^2 + \textcolor{#d62728}{\square}^3 Sostituendo: =23+3⋅4⋅(−3ab)+3⋅2⋅9a2b2+(−3ab)3=8−36ab+54a2b2−27a3b3= 2^3 + 3\cdot 4\cdot(-3ab) + 3\cdot 2\cdot 9a^2b^2 + (-3ab)^3 = 8 - 36ab + 54a^2b^2 - 27a^3b^3 Lo stesso metodo vale per (A+B)2(A+B)^2, (A+B)(A−B)(A+B)(A-B) e (A+B+C)2(A+B+C)^2: si disegnano le forme al posto dei termini, poi si sostituisce.

Metodo delle forme al contrario (riconoscimento). Dato un trinomio, posso verificare se è un quadrato di binomio usando le forme al rovescio:

  1. Il primo termine è ◯2\textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}^2? ⇒\Rightarrow trovo ◯=primo termine\textcolor{#1f77b4}{\bigcirc} = \sqrt{\text{primo termine}}.
  2. L’ultimo termine è □2\textcolor{#d62728}{\square}^2? ⇒\Rightarrow trovo □=ultimo termine\textcolor{#d62728}{\square} = \sqrt{\text{ultimo termine}}.
  3. Il termine centrale è =2⋅◯⋅□= 2\cdot\textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}\cdot\textcolor{#d62728}{\square}? Se sì, il trinomio è (◯+□)2(\textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}+\textcolor{#d62728}{\square})^2. ✓

Esempio. 16a2b2+16abc+4c216a^2b^2+16abc+4c^2. Scrivo (◯+□)2=◯2+2◯□+□2(\textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}+\textcolor{#d62728}{\square})^2 = \textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}^2 + 2\textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}\textcolor{#d62728}{\square}+\textcolor{#d62728}{\square}^2.

  • ◯2=16a2b2⇒◯=4ab\textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}^2 = 16a^2b^2 \Rightarrow \textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}=4ab.
  • □2=4c2⇒□=2c\textcolor{#d62728}{\square}^2 = 4c^2 \Rightarrow \textcolor{#d62728}{\square}=2c.
  • Verifica: 2⋅◯⋅□=2⋅4ab⋅2c=16abc2\cdot\textcolor{#1f77b4}{\bigcirc}\cdot\textcolor{#d62728}{\square} = 2\cdot 4ab\cdot 2c = 16abc. ✓

Dunque 16a2b2+16abc+4c2=(4ab+2c)216a^2b^2+16abc+4c^2 = \boxed{(4ab+2c)^2}.

Collegamenti

Argomenti: Calcolo letterale
Concetti: Prodotti notevoli · Quadrato di binomio
Competenze: Calcolare · Usare formule

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