Terzetti di primi a distanza due

Testo

Un terzetto di primi è una terna di numeri primi della forma $p$, $p+2$, $p+4$. Ad esempio $3, 5, 7$. Dimostra che non esistono altri terzetti di questa forma.

Soluzione

Consideriamo i tre numeri $p$, $p+2$, $p+4$ modulo $3$. I loro resti nella divisione per $3$ sono, rispettivamente, $p,\quad p+2,\quad p+4 \equiv p,\; p+2,\; p+1 \pmod 3,$ cioè coprono i tre resti $0, 1, 2$ in qualche ordine. In particolare uno dei tre numeri è divisibile per $3$.

Se quel numero deve essere primo ed è divisibile per $3$, allora deve essere uguale a $3$. L’unico modo perché il divisibile per $3$ sia proprio $3$ è $p = 3$, che dà $3, 5, 7$. Per ogni $p > 3$ uno dei tre numeri è un multiplo di $3$ maggiore di $3$, quindi composto. Dunque $3, 5, 7$ è l’unico terzetto. $\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Numeri e operazioni
Concetti: Divisibilita · Numero primo
Competenze: Ragionare per casi
Tipo di esercizio: Dimostrazione