Primalità di n fattoriale meno uno

Testo

Per $n \in \mathbb{Z}^+$ poni $c_n = n! - 1$ (dove $n! = 1 \cdot 2 \cdots n$). Stabilisci se $c_n$ è primo per $n = 3, 4, 5, 6, 7$.

Soluzione

Calcoliamo i fattoriali e sottraiamo $1$:

• $n=3$: $c_3 = 6 - 1 = 5$ → primo.
• $n=4$: $c_4 = 24 - 1 = 23$ → primo.
• $n=5$: $c_5 = 120 - 1 = 119 = 7 \cdot 17$ → non primo.
• $n=6$: $c_6 = 720 - 1 = 719$; provando i primi fino a $\sqrt{719}\approx 26{,}8$ nessuno lo divide → primo.
• $n=7$: $c_7 = 5040 - 1 = 5039$; provando i primi fino a $\sqrt{5039}\approx 71$ nessuno lo divide → primo.

Quindi $c_n$ è primo per $n = 3, 4, 6, 7$ ed è composto per $n = 5$.

Collegamenti

Argomenti: Numeri e operazioni
Concetti: Fattorizzazione in primi · Numero primo
Competenze: Ragionare per casi
Tipo di esercizio: Dimostrazione