Coprimalità di 3a+2 e 5a+3

Testo

Dimostra che per ogni intero $a$ i numeri $3a+2$ e $5a+3$ sono coprimi, cioè $\gcd(3a+2,\,5a+3) = 1$.

Soluzione

Sia $d$ un divisore comune di $3a+2$ e $5a+3$. Allora $d$ divide ogni loro combinazione lineare a coefficienti interi. Consideriamo $5\,(3a+2) - 3\,(5a+3) = 15a + 10 - 15a - 9 = 1.$ Quindi $d \mid 1$, il che obbliga $d = 1$ (a meno del segno). Perciò l’unico divisore comune positivo è $1$ e i due numeri sono coprimi. $\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Numeri e operazioni
Concetti: Combinazione lineare · Massimo comun divisore (MCD) · Numeri coprimi
Competenze: Dimostrare
Tipo di esercizio: Dimostrazione