Il MCD divide il minimo comune multiplo

Testo

Siano $a, b$ interi positivi. Dimostra che $\gcd(a,b) \mid \operatorname{lcm}(a,b)$.

Soluzione

Poniamo $d = \gcd(a,b)$ e $\ell = \operatorname{lcm}(a,b)$.

Per definizione di massimo comun divisore, $d \mid a$. Per definizione di minimo comune multiplo, $a \mid \ell$ (il mcm è un multiplo comune, in particolare multiplo di $a$).

Dalla transitività della divisibilità, $d \mid a$ e $a \mid \ell$ implicano $d \mid \ell$, cioè $\gcd(a,b) \mid \operatorname{lcm}(a,b)$. $\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Numeri e operazioni
Concetti: Divisibilita · Massimo comun divisore (MCD) · Minimo comune multiplo (mcm)
Competenze: Dimostrare
Tipo di esercizio: Dimostrazione