Cinque alla n meno uno è divisibile per quattro

Testo

Dimostra che $5^n - 1$ è divisibile per $4$ per ogni intero $n \ge 1$.

Soluzione

Per induzione. Base ($n=1$): $5^1 - 1 = 4$, divisibile per $4$.

Passo: supponiamo $4 \mid (5^k - 1)$, cioè $5^k - 1 = 4t$ per qualche intero $t$. Allora $5^{k+1} - 1 = 5 \cdot 5^k - 1 = 5\,(5^k - 1) + 4 = 5 \cdot 4t + 4 = 4\,(5t + 1).$ Quindi $4 \mid (5^{k+1}-1)$. Per il principio di induzione la tesi vale per ogni $n \ge 1$. $\blacksquare$

In alternativa: $5 \equiv 1 \pmod 4$, quindi $5^n \equiv 1^n = 1 \pmod 4$, da cui $5^n - 1 \equiv 0 \pmod 4$.

Collegamenti

Argomenti: Numeri e operazioni
Concetti: Divisibilita · Principio di induzione
Metodi: Induzione
Competenze: Dimostrare
Tipo di esercizio: Dimostrazione