Combinazione lineare di numeri divisibili

Testo

Dimostra che se $a \mid b$ e $a \mid c$, allora $a \mid (mb + nc)$ per ogni scelta di interi $m$ e $n$.

Soluzione

Da $a \mid b$ e $a \mid c$ esistono interi $x$ e $y$ con $b = ax$ e $c = ay$. Allora, per ogni $m, n \in \mathbb{Z}$, $mb + nc = m(ax) + n(ay) = a\,(mx + ny).$ Poiché $mx + ny$ è un intero, $a$ divide $mb + nc$. $\blacksquare$

(In particolare, con $m = n = 1$, si ritrova che $a$ divide $b + c$.)

Collegamenti

Argomenti: Numeri e operazioni
Concetti: Combinazione lineare · Divisibilita
Competenze: Dimostrare
Tipo di esercizio: Dimostrazione