Il numero civico di Ramanujan

Testo

Su un lato di una strada le case sono numerate consecutivamente $1,2,3,\dots,m$, con più di $20$ ma meno di $100$ case. Esiste una casa di numero $h$ tale che la somma dei numeri civici alla sua sinistra è uguale alla somma di quelli alla sua destra. Trova $h$ e il numero totale di case $m$.

Soluzione

La condizione è $1+2+\dots+(h-1)=(h+1)+\dots+m$, cioè $T_{h-1}=T_m-T_h$, da cui $T_m=T_{h-1}+T_h=h^2.$ Serve dunque un numero triangolare $T_m$ che sia anche un quadrato perfetto $h^2$, con $20<m<100$. Il numero quadrato-triangolare adatto è $T_{49}=1225=35^2$, quindi $m=\boxed{49},\qquad h=\boxed{35}.$ Verifica: $1+\dots+34=T_{34}=595$ e $36+\dots+49=T_{49}-T_{35}=1225-630=595$.

Collegamenti

Argomenti: Numeri e operazioni
Concetti: Numero triangolare · Quadrato perfetto
Competenze: Calcolare · Modellizzare
Tipo di esercizio: Problema verbale