Multiplo di 45 con sole cifre 0 e 5

Testo

Qual è il più piccolo multiplo positivo di $45$ che si scrive usando soltanto le cifre $0$ e $5$?

Soluzione

Poiché $45 = 9\cdot 5$ con $9$ e $5$ coprimi, il numero deve essere divisibile per $9$ e per $5$.

• Per $5$: deve terminare con $0$ o $5$: sempre possibile con le cifre a disposizione.
• Per $9$: la somma delle cifre deve essere divisibile per $9$. Usando solo $0$ e $5$, la somma vale $5k$, dove $k$ è il numero di cifre $5$. Serve $9 \mid 5k$, cioè $9 \mid k$: occorrono almeno nove cifre $5$.

Il numero più piccolo si ottiene con nove cifre $5$ (aggiungere degli $0$ lo allungherebbe): $\boxed{555\,555\,555}.$

Collegamenti

Argomenti: Numeri e operazioni
Concetti: Criteri di divisibilita · Divisibilita
Competenze: Ragionare per casi
Tipo di esercizio: Dimostrazione