Urna di 10 palline, distribuzione completa

Testo

Un’urna ha $10$ palline, di cui $4$ rosse. Si estraggono $3$ palline senza reimmissione: calcolare $P(X=0), P(X=1), P(X=2), P(X=3)$ e verificare che la somma è $1$.

Soluzione

Modello ipergeometrico con $N=10$, $K=4$, $n=3$; il denominatore è $\binom{10}{3}=120$. $P(X=0) = \frac{\binom{4}{0}\binom{6}{3}}{120} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}\approx 0{,}167,$ $P(X=1) = \frac{\binom{4}{1}\binom{6}{2}}{120} = \frac{4\cdot 15}{120} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2},$ $P(X=2) = \frac{\binom{4}{2}\binom{6}{1}}{120} = \frac{6\cdot 6}{120} = \frac{36}{120} = 0{,}3,$ $P(X=3) = \frac{\binom{4}{3}\binom{6}{0}}{120} = \frac{4}{120} = \frac{1}{30}\approx 0{,}033.$ Verifica: $20+60+36+4 = 120$, dunque $\sum_k P(X=k) = \dfrac{120}{120} = \boxed{1}$. ✓

Collegamenti

Argomenti: Distribuzioni probabilita
Concetti: Distribuzione ipergeometrica
Metodi: Distribuzione ipergeometrica
Competenze: Calcolo combinatorio · Calcolo probabilita
Tipo di esercizio: Problema probabilita