Studio della funzione -p log p

Testo

Mostrare con uno studio di funzione che $h(p)=-p\log_2 p$ è crescente su $[0,\,1/e]$ e decrescente su $[1/e,\,1]$ (con massimo $\log_2 e\cdot e^{-1}\approx 0{,}531$).

Soluzione

Scriviamo $h(p) = -p\dfrac{\ln p}{\ln 2}$. Deriviamo (regola del prodotto): $h'(p) = -\frac{1}{\ln 2}\left(\ln p + p\cdot\frac{1}{p}\right) = -\frac{1}{\ln 2}\bigl(\ln p + 1\bigr).$ Poiché $\dfrac{1}{\ln 2}>0$, il segno di $h'(p)$ è opposto a quello di $\ln p + 1$: $h'(p) = 0 \iff \ln p = -1 \iff p = \frac1e.$ Per $p<1/e$ si ha $\ln p + 1 < 0$, dunque $h'(p)>0$ (crescente); per $p>1/e$ si ha $h'(p)<0$ (decrescente). Il massimo è quindi in $p=1/e$: $h\!\left(\frac1e\right) = -\frac1e\log_2\frac1e = \frac1e\log_2 e = \frac{\log_2 e}{e} \approx \frac{1{,}4427}{2{,}718} \approx \boxed{0{,}531}. \qquad \blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Distribuzioni probabilita
Concetti: Entropia
Competenze: Dimostrare · Studiare funzione
Tipo di esercizio: Studio di funzione