Ipergeometrica — urna 3 rosse e 5 verdi

Questo è l’esempio guida che permette di confrontare due strade equivalenti: l’albero delle probabilità (introdotto in Quarta) e la formula ipergeometrica compatta.

Esempio — Urna con 3 rosse e 5 verdi

Urna con $8$ palle: $3$ rosse e $5$ verdi. Si estraggono $3$ palle senza reimmissione. Qual è la probabilità di ottenere esattamente $2$ rosse?

Con $N=8$, $K=3$, $n=3$, $k=2$: $P(X=2) = \frac{\binom{3}{2}\binom{5}{1}}{\binom{8}{3}} = \frac{3\cdot 5}{56} = \frac{15}{56}\approx 0{,}268.$

Lo stesso valore si ottiene con l’albero: ci sono $\binom{3}{2} = 3$ ordini di uscita possibili ($RRV, RVR, VRR$), ciascuno con probabilità $\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{7}\cdot\frac{5}{6} = \frac{30}{336} = \frac{5}{56};$ la loro somma è $15/56$. La formula ipergeometrica compatta questo ragionamento in un solo passaggio. La media è $\mu = 3\cdot\frac{3}{8} = \frac{9}{8} \approx 1{,}125 \text{ rosse attese}.$

Collegamenti

Argomenti: Distribuzioni probabilita
Concetti: Distribuzione ipergeometrica · Valore atteso
Metodi: Distribuzione ipergeometrica
Competenze: Calcolo combinatorio · Calcolo probabilita