Teorema di Lagrange per una funzione cubica

Testo

Sia $f(x)=x^3-6x^2+9x$. (a) Verifica che sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Lagrange sugli intervalli $[0,2]$ e $[4,6]$. (b) Determina i punti $c$ previsti dal teorema in ciascun intervallo.

Soluzione

(a) Ipotesi. $f$ è un polinomio, quindi è continua su ogni intervallo chiuso e derivabile su ogni intervallo aperto: le ipotesi del teorema di Lagrange sono soddisfatte sia su $[0,2]$ sia su $[4,6]$.

Calcoliamo la derivata: $f'(x)=3x^2-12x+9.$

(b) Intervallo $[0,2]$. Il rapporto incrementale è $\frac{f(2)-f(0)}{2-0}=\frac{2-0}{2}=1.$ Imponiamo $f'(c)=1$: $3c^2-12c+9=1 \iff 3c^2-12c+8=0 \iff c=\frac{12\pm\sqrt{144-96}}{6}=2\pm\frac{2\sqrt3}{3}.$ L’unica soluzione in $(0,2)$ è $c_1=2-\frac{2\sqrt3}{3}\approx 0.845.$

Intervallo $[4,6]$. Il rapporto incrementale è $\frac{f(6)-f(4)}{6-4}=\frac{54-4}{2}=25.$ Imponiamo $f'(c)=25$: $3c^2-12c+9=25 \iff 3c^2-12c-16=0 \iff c=\frac{12\pm\sqrt{144+192}}{6}=2\pm\frac{\sqrt{336}}{6}.$ L’unica soluzione in $(4,6)$ è $c_2=2+\frac{\sqrt{336}}{6}\approx 5.055.$

$\boxed{c_1=2-\tfrac{2\sqrt3}{3}\approx 0.845,\qquad c_2=2+\tfrac{\sqrt{336}}{6}\approx 5.055}$

Collegamenti

Argomenti: Teoremi del calcolo
Concetti: Teorema di lagrange
Competenze: Dimostrare
Persone: Joseph-Louis Lagrange
Tipo di esercizio: Dimostrazione