Volume del cono per rotazione

Testo

La regione sotto la retta $y=\tfrac12 x$, con $0\le x\le6$, ruota attorno all’asse $x$. Calcola il volume del cono ottenuto e verifica con la formula $V=\tfrac13\pi r^{2}h$.

Soluzione

$V=\pi\displaystyle\int_0^6\Big(\tfrac{x}{2}\Big)^{2}dx=\dfrac{\pi}{4}\int_0^6 x^{2}dx=\dfrac{\pi}{4}\Big[\tfrac{x^{3}}{3}\Big]_0^6=\dfrac{\pi}{4}\cdot72=18\pi\approx56{,}549$. Verifica: raggio $r=3$, altezza $h=6$, $V=\tfrac13\pi\cdot9\cdot6=18\pi$. ✓ $\boxed{V=18\pi\approx56{,}549}$

Collegamenti

Argomenti: Integrale
Concetti: Integrale definito · Volume di rotazione
Competenze: Integrare
Tipo di esercizio: Calcolo integrale