Testo La curva y=x4x(8−x)y=\dfrac{x}{4}\sqrt{x(8-x)}y=4xx(8−x) (con 0≤x≤80\le x\le 80≤x≤8) ruota attorno all’asse xxx. Calcola il volume del solido ottenuto. Soluzione y2=x216 x(8−x)y^{2}=\dfrac{x^{2}}{16}\,x(8-x)y2=16x2x(8−x), quindi V=π∫08y2 dx=π16∫08x3(8−x) dx=π16∫08(8x3−x4)dx.V=\pi\int_{0}^{8}y^{2}\,dx=\frac{\pi}{16}\int_{0}^{8}x^{3}(8-x)\,dx=\frac{\pi}{16}\int_{0}^{8}\left(8x^{3}-x^{4}\right)dx.V=π∫08y2dx=16π∫08x3(8−x)dx=16π∫08(8x3−x4)dx. =π16[2x4−x55]08=π16(8192−327685)=π16⋅81925=512π5≈321,699.=\frac{\pi}{16}\left[2x^{4}-\frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{8}=\frac{\pi}{16}\left(8192-\frac{32768}{5}\right)=\frac{\pi}{16}\cdot\frac{8192}{5}=\frac{512\pi}{5}\approx321{,}699.=16π[2x4−5x5]08=16π(8192−532768)=16π⋅58192=5512π≈321,699. V=512π5≈321,70\boxed{V=\dfrac{512\pi}{5}\approx321{,}70}V=5512π≈321,70 Collegamenti Argomenti: Integrale Concetti: Integrale definito · Metodo dei dischi · Volume di rotazione Competenze: Integrare Tipo di esercizio: Calcolo integrale