Volume del cono per integrazione

Testo

Un cono ha raggio di base $3$ e altezza $6$. Ottieni il suo volume facendo ruotare attorno all’asse $x$ la retta $y=\tfrac{x}{2}$, con $0\le x\le 6$.

Soluzione

$V=\pi\int_{0}^{6}\left(\frac{x}{2}\right)^{2}dx=\frac{\pi}{4}\int_{0}^{6}x^{2}\,dx=\frac{\pi}{4}\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{6}=\frac{\pi}{4}\cdot 72=18\pi\approx56{,}549.$ Coincide con la formula $V=\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h=\dfrac{1}{3}\pi\cdot9\cdot6=18\pi$. $\boxed{V=18\pi\approx56{,}549}$

Collegamenti

Argomenti: Integrale
Concetti: Integrale definito · Metodo dei dischi · Volume di rotazione
Competenze: Integrare
Tipo di esercizio: Calcolo integrale