Area con un integrale improprio

Testo

Calcola $\displaystyle\int_{0}^{1}\left(x^{2}-\ln x\right)dx$ (l’integrale è improprio in $x=0$, dove $\ln x\to-\infty$).

Soluzione

Si spezza l’integrale. Per la parte polinomiale $\displaystyle\int_{0}^{1}x^{2}\,dx=\frac{1}{3}$. Per il logaritmo, una primitiva è $x\ln x-x$, e $\int_{0}^{1}\ln x\,dx=\big[x\ln x-x\big]_{0}^{1}=(0-1)-\lim_{x\to0^{+}}\big(x\ln x-x\big)=-1-0=-1.$ Dunque $\int_{0}^{1}\left(x^{2}-\ln x\right)dx=\frac{1}{3}-(-1)=\frac{4}{3}\approx1{,}3333.$ $\boxed{\dfrac{4}{3}\approx1{,}3333}$

Collegamenti

Argomenti: Integrale
Concetti: Integrale definito · Integrale improprio
Competenze: Integrare
Tipo di esercizio: Calcolo integrale