Volume di un solido a sezioni triangolari equilatere

Testo

Un solido ha per base la regione compresa tra $y=1-x^2$ e l’asse $x$ su $[-1,1]$. Le sezioni ortogonali all’asse $x$ sono triangoli equilateri il cui lato è l’altezza della parabola nel punto. (a) Scrivi l’area $A(x)$ della sezione (l’area di un triangolo equilatero di lato $L$ è $\tfrac{\sqrt3}{4}L^2$); (b) calcola il volume.

Soluzione

(a) Il lato della sezione a quota $x$ è $L(x)=1-x^2$, quindi $A(x)=\frac{\sqrt3}{4}\,L(x)^2=\frac{\sqrt3}{4}(1-x^2)^2.$

(b) L’integrando è pari, quindi $\int_{-1}^1=2\int_0^1$: $V=\int_{-1}^1\frac{\sqrt3}{4}(1-x^2)^2\,dx=\frac{\sqrt3}{2}\int_0^1(1-2x^2+x^4)\,dx=\frac{\sqrt3}{2}\left[x-\frac{2x^3}{3}+\frac{x^5}{5}\right]_0^1=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{8}{15}=\frac{4\sqrt3}{15}\approx0.4619.$

$\boxed{V=\frac{4\sqrt3}{15}}$

Collegamenti

Argomenti: Integrale
Concetti: Integrale definito · Volume per sezioni
Competenze: Integrare
Tipo di esercizio: Calcolo integrale