Area e volumi tra y=√x e y=x²

Testo

Sia $\Pi$ la regione compresa tra $y=\sqrt{x}$ e $y=x^2$. a) Trova le intersezioni e l’area di $\Pi$. b) Calcola il volume del solido ottenuto ruotando $\Pi$ attorno all’asse $x$. c) Calcola il volume ruotando $\Pi$ attorno all’asse $y$ con il metodo dei gusci cilindrici $V=2\pi\int x[f(x)-g(x)]\,dx$. d) Confronta i due volumi e spiega il risultato con la simmetria.

Soluzione

(a) Intersezioni: $\sqrt{x}=x^2\Rightarrow x=x^4\Rightarrow x(x^3-1)=0\Rightarrow x=0,\ x=1$, cioè $(0,0)$ e $(1,1)$. Su $[0,1]$ vale $\sqrt{x}\ge x^2$, quindi $A=\int_0^1(\sqrt{x}-x^2)\,dx=\left[\frac23 x^{3/2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac23-\frac13=\frac13.$

(b) Rotazione attorno all’asse $x$ (dischi/anelli). $V_x=\pi\int_0^1\!\left[(\sqrt{x})^2-(x^2)^2\right]dx=\pi\int_0^1(x-x^4)\,dx=\pi\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^5}{5}\right]_0^1=\frac{3\pi}{10}\approx0.9425.$

(c) Rotazione attorno all’asse $y$ (gusci cilindrici). $V_y=2\pi\int_0^1 x(\sqrt{x}-x^2)\,dx=2\pi\int_0^1(x^{3/2}-x^3)\,dx=2\pi\left[\frac25 x^{5/2}-\frac{x^4}{4}\right]_0^1=2\pi\cdot\frac{3}{20}=\frac{3\pi}{10}\approx0.9425.$

(d) Si ottiene $V_x=V_y$. La regione $\Pi$ è simmetrica rispetto alla retta $y=x$: scambiando $x\leftrightarrow y$ la curva $y=\sqrt{x}$ diventa $y=x^2$ e viceversa, quindi $\Pi$ resta invariata. Ruotare attorno all’asse $x$ o attorno all’asse $y$ produce allora solidi congruenti, con lo stesso volume.

$\boxed{A=\frac13,\quad V_x=V_y=\frac{3\pi}{10}}$

Collegamenti

Argomenti: Integrale
Concetti: Area tra due curve · Integrale definito · Volume di rotazione
Competenze: Integrare
Tipo di esercizio: Calcolo integrale