Volume di un solido a sezioni rettangolari

Testo

Un solido ha per base la regione compresa tra $y=x^2+2$ e l’asse $x$ su $[0,2]$. La sezione ortogonale all’asse $x$ nel punto di ascissa $x$ è un rettangolo di altezza $x+1$. (a) Scrivi l’area $A(x)$ della sezione; (b) calcola il volume.

Soluzione

(a) La base del rettangolo a quota $x$ è $y=x^2+2$ (la distanza tra la curva e l’asse $x$), l’altezza è $x+1$, quindi $A(x)=(x^2+2)(x+1)=x^3+x^2+2x+2.$

(b) Volume: $V=\int_0^2(x^3+x^2+2x+2)\,dx=\left[\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}+x^2+2x\right]_0^2=4+\frac83+4+4=\frac{44}{3}\approx14.667.$

$\boxed{V=\frac{44}{3}}$

Collegamenti

Argomenti: Integrale
Concetti: Integrale definito · Volume per sezioni
Competenze: Integrare
Tipo di esercizio: Calcolo integrale