Volume, massa e centro di massa di una sbarra

Testo

Una sbarra lunga $3\ \mathrm m$ ha sezione circolare di area $0.1\ \mathrm{m^2}$ e densità (di massa per unità di volume) crescente $\rho(x)=x+1$, dove $x$ è la distanza da un estremo. Determina: (a) il volume; (b) la massa; (c) la posizione del centro di massa.

Soluzione

(a) Volume. La sezione è costante, quindi $V=(\text{area sezione})\cdot(\text{lunghezza})=0.1\cdot 3=0.3\ \mathrm{m^3}.$

(b) Massa. Un elemento di sbarra di spessore $dx$ ha volume $0.1\,dx$ e massa $dm=\rho(x)\cdot 0.1\,dx$: $m=\int_0^3 0.1(x+1)\,dx=0.1\left[\frac{x^2}{2}+x\right]_0^3=0.1\left(\frac92+3\right)=0.75\ \mathrm{kg}.$

(c) Centro di massa. $x_{cm}=\frac{\int_0^3 x\,\rho(x)\,0.1\,dx}{m}=\frac{0.1\int_0^3(x^2+x)\,dx}{0.75}=\frac{0.1\left(9+\tfrac92\right)}{0.75}=\frac{0.1\cdot 13.5}{0.75}=1.8\ \mathrm m.$ Il centro di massa è spostato verso l’estremo più denso, come atteso.

$\boxed{V=0.3\ \mathrm{m^3},\quad m=0.75\ \mathrm{kg},\quad x_{cm}=1.8\ \mathrm m}$

Collegamenti

Argomenti: Integrale
Concetti: Integrale definito
Competenze: Integrare
Tipo di esercizio: Calcolo integrale