Volumi di rotazione - metodo dei dischi

Quando si ruota la regione sotto $f(x)\ge 0$ attorno all’asse $x$, ogni “fetta” del solido è un disco di raggio $f(x)$ e spessore $dx$: $dV = \pi\bigl[f(x)\bigr]^2\,dx \implies \boxed{V = \pi\int_a^b\bigl[f(x)\bigr]^2\,dx}.$

Rotazione attorno all’asse $x$: ogni fetta è un disco di raggio $f(x)$ e spessore $dx$.

Esempio — Paraboloide attorno all'asse $x$

$V = \pi\int_0^4(\sqrt{x})^2\,dx = \pi\int_0^4 x\,dx = \pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = 8\pi.$

Esempio — Solido di rotazione di $y=xe^{-x}$

$V = \pi\int_1^5(xe^{-x})^2\,dx = \pi\int_1^5 x^2 e^{-2x}\,dx.$ Si integra per parti due volte. Prima applicazione: $f'=e^{-2x}\to f=-\tfrac{1}{2}e^{-2x}$; $g=x^2\to g'=2x$: $= \pi\left[-\frac{x^2}{2}e^{-2x}\right]_1^5 + \pi\int_1^5 x\,e^{-2x}\,dx.$ Seconda applicazione sull’integrale residuo ($f'=e^{-2x}\to f=-\tfrac12 e^{-2x}$; $g=x\to g'=1$): $\int_1^5 x\,e^{-2x}\,dx = \left[-\frac{x}{2}e^{-2x}\right]_1^5 + \left[-\frac{1}{4}e^{-2x}\right]_1^5.$ Assemblando e valutando si ottiene un numero piccolo (perché $e^{-10}\approx 5\times 10^{-5}$). Nota: scegliere $f'=x$ avrebbe portato a qualcosa di più complicato.

Esempio — Rotazione di $\sin x$ attorno all'asse $x$

$V = \pi\int_0^\pi\sin^2 x\,dx = \pi\int_0^\pi\frac{1-\cos(2x)}{2}\,dx = \frac{\pi}{2}\left[x-\frac{\sin(2x)}{2}\right]_0^\pi = \frac{\pi^2}{2}.$ Usiamo la formula di linearizzazione $\sin^2 x = \dfrac{1-\cos(2x)}{2}$ vista nel capitolo sulla goniometria.

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