Integrazione delle frazioni algebriche

Per integrare una frazione di polinomi si procede in due fasi: prima si abbassa il grado del numeratore, poi si tratta il denominatore di secondo grado distinguendo tre casi secondo il segno del discriminante $\Delta$.

Fase 1. Se $\deg\text{num} \ge \deg\text{den}$, si esegue la divisione polinomiale per ricondursi a un numeratore di grado inferiore.

Fase 2. Per $\displaystyle\int\frac{dx+e}{ax^2+bx+c}\,dx$ si distinguono tre casi:

• Caso A ($\Delta>0$): si scompone $a(x-x_1)(x-x_2)$ e si decompone in frazioni parziali $\dfrac{C_1}{x-x_1}+\dfrac{C_2}{x-x_2}$. Trucco pratico: “copro $(x-x_1)$ con la mano e sostituisco $x=x_1$” per trovare $C_1$.
• Caso B ($\Delta=0$): si usa la sostituzione $t=x-x_1$.
• Caso C ($\Delta<0$): si completa il quadrato al denominatore, riconducendosi a un $\arctan$.

Esempio — Caso A: $\int_3^5\dfrac{2x+3}{5(x-1)(x+2)}\,dx$

Con il trucco della “mano”: $C_1 = \frac{2\cdot 1+3}{5(1+2)} = \frac{1}{3}, \qquad C_2 = \frac{2(-2)+3}{5(-2-1)} = \frac{1}{15}.$ Quindi $\int_3^5\frac{2x+3}{5(x-1)(x+2)}\,dx = \left[\frac{1}{3}\ln|x-1|+\frac{1}{15}\ln|x+2|\right]_3^5.$

Collegamenti

Argomenti: Integrale
Concetti: Completamento del quadrato · Frazioni parziali
Metodi: Integrale frazioni parziali
Competenze: Integrare · Ragionare per casi · Scomporre