Sostituzioni irrazionali e trigonometriche

La sostituzione è particolarmente utile con le radici: si sceglie $t$ uguale all’espressione sotto radice, oppure — quando compare $\sqrt{a^2-x^2}$ — si passa a una variabile angolare.

Esempio — Integrale irrazionale: $\int\dfrac{x}{\sqrt{2x^2+1}}\,dx$

Poniamo $t = 2x^2+1$, $dt = 4x\,dx$: $\frac{1}{4}\int t^{-1/2}\,dt = \frac{1}{2}\sqrt{t} = \frac{1}{2}\sqrt{2x^2+1}+C.$

Esempio — Sostituzione trigonometrica: $\int\sqrt{1-x^2}\,dx$

Poniamo $x = \sin\theta$, $dx = \cos\theta\,d\theta$, $\sqrt{1-x^2} = \cos\theta$: $\int\cos^2\theta\,d\theta = \frac{\theta}{2}+\frac{\sin(2\theta)}{4}+C = \frac{\arcsin x}{2}+\frac{x\sqrt{1-x^2}}{2}+C.$

La sostituzione trigonometrica sfrutta l’identità $1-\sin^2\theta = \cos^2\theta$ per “eliminare” la radice, trasformando l’integrale irrazionale in uno goniometrico.

Collegamenti

Argomenti: Integrale
Concetti: Integrale per sostituzione
Metodi: Integrale sostituzione
Competenze: Calcolare · Integrare