La primitiva, inversa della derivata

Per calcolare l’integrale definito, l’idea geniale è: supponiamo di aver trovato una funzione $F(x)$ la cui derivata è $f(x)$, cioè $F'(x) = f(x)$. In tal caso il differenziale di $F$ è $dF = F'(x)\,dx = f(x)\,dx.$ Ma $f(x)\,dx$ è esattamente il “pezzettino” che stiamo sommando nell’integrale! Dunque:

$\int_a^b f(x)\,dx = \sum_{x=a}^{x=b} dF = F(b) - F(a).$

La somma di tutti i pezzettini $dF$ da $a$ a $b$ non è altro che l’aumento totale di $F$: cioè il valore finale $F(b)$ meno il valore iniziale $F(a)$. È questo il legame — noto come teorema fondamentale del calcolo — che rende l’integrale calcolabile.

Definizione — Primitiva

$F(x)$ si dice primitiva di $f(x)$ se $F'(x) = f(x)$. Si scrive: $\mathcal{P}(f) = F \iff F' = f.$ La primitiva è l’operazione inversa della derivata: se derivare $F$ dà $f$, trovare la primitiva di $f$ dà $F$.

Collegamenti

Argomenti: Integrale
Concetti: Differenziale · Integrale definito · Primitiva · Teorema fondamentale del calcolo
Competenze: Integrare