Ricostruzione dei parametri di una cubica

Testo

Determina i coefficienti $a,b,c$ della funzione $y=ax^{3}+bx^{2}+cx$ sapendo che ha un massimo relativo in $x=-1$ con $y=2$ e un estremo relativo in $x=1$.

Soluzione

$y'=3ax^{2}+2bx+c$. Condizioni $y'(-1)=0$ e $y'(1)=0$: $3a-2b+c=0$ e $3a+2b+c=0$. Sottraendo: $4b=0\Rightarrow b=0$, quindi $c=-3a$. Condizione $y(-1)=2$: con $b=0$, $y=ax^{3}+cx$, $y(-1)=-a-c=-a+3a=2a=2\Rightarrow a=1$, $c=-3$. La funzione è $y=x^{3}-3x$ (massimo $(-1,2)$, minimo $(1,-2)$). $\boxed{a=1,\ b=0,\ c=-3}$

Collegamenti

Argomenti: Studio di funzione
Concetti: Massimo relativo · Punto di flesso · Studio di funzione
Competenze: Studiare funzione
Tipo di esercizio: Studio di funzione