Studio di x per e alla meno x

Testo

Studia la funzione $y=x\,e^{-x}$: dominio, segno, limiti agli estremi, estremi relativi e flesso.

Soluzione

Dominio $\mathbb{R}$. Segno: $y>0$ per $x>0$, $y<0$ per $x<0$, zero in $x=0$. Limiti: $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}xe^{-x}=0^{+}$ (asintoto $y=0$), $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}xe^{-x}=-\infty$. Derivata prima: $y'=e^{-x}(1-x)=0\Rightarrow x=1$: massimo $\big(1,\tfrac1e\big)\approx(1;0{,}368)$. Derivata seconda: $y''=e^{-x}(x-2)=0\Rightarrow x=2$: flesso in $\big(2,\tfrac{2}{e^{2}}\big)\approx(2;0{,}271)$. $\boxed{\text{max }(1,\tfrac1e);\ \text{flesso }(2,\tfrac{2}{e^{2}});\ \text{asintoto }y=0}$

Collegamenti

Argomenti: Studio di funzione
Concetti: Massimo relativo · Punto di flesso · Studio di funzione
Competenze: Studiare funzione
Tipo di esercizio: Studio di funzione