Studio della funzione razionale y = x su (x quadrato piu 1)

Testo

Studia la funzione $y=\dfrac{x}{x^{2}+1}$: dominio, simmetrie, asintoti, monotonia ed estremi.

Soluzione

Dominio $\mathbb{R}$ (denominatore mai nullo); funzione dispari. Intersezioni: solo l’origine $(0,0)$. Asintoto orizzontale: $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x}{x^{2}+1}=0$, quindi $y=0$. Derivata prima: $y'=\dfrac{(x^{2}+1)-x\cdot2x}{(x^{2}+1)^{2}}=\dfrac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}=0\Rightarrow x=\pm1$. $y'>0$ su $(-1,1)$, $y'<0$ altrove: massimo $(1,\tfrac12)$, minimo $(-1,-\tfrac12)$. $\boxed{\text{max }(1,\tfrac12);\ \text{min }(-1,-\tfrac12);\ \text{asintoto }y=0}$

Collegamenti

Argomenti: Studio di funzione
Concetti: Massimo relativo · Punto di flesso · Studio di funzione
Competenze: Studiare funzione
Tipo di esercizio: Studio di funzione