Studio di una cubica y = x cubo meno 12x

Testo

Studia la funzione $y=x^{3}-12x$: dominio, simmetrie, intersezioni con gli assi, monotonia, estremi relativi e flesso.

Soluzione

Dominio $\mathbb{R}$; funzione dispari ($y(-x)=-y(x)$). Intersezioni: $x^{3}-12x=x(x^{2}-12)=0\Rightarrow x=0,\ x=\pm2\sqrt3$. Derivata prima: $y'=3x^{2}-12=3(x-2)(x+2)=0\Rightarrow x=\pm2$. $y'>0$ per $x<-2$ e $x>2$ (crescente), $y'<0$ per $-2<x<2$ (decrescente). Massimo relativo $(-2,16)$, minimo relativo $(2,-16)$. Derivata seconda: $y''=6x=0\Rightarrow x=0$: flesso in $(0,0)$, concavità verso il basso per $x<0$, verso l’alto per $x>0$. $\boxed{\text{max }(-2,16);\ \text{min }(2,-16);\ \text{flesso }(0,0)}$

Collegamenti

Argomenti: Studio di funzione
Concetti: Massimo relativo · Punto di flesso · Studio di funzione
Competenze: Studiare funzione
Tipo di esercizio: Studio di funzione