Studio di y = x³ − 6x² + 9x

Testo

Studia la funzione $y=x^{3}-6x^{2}+9x$: zeri e segno, massimi e minimi relativi, punto di flesso.

Soluzione

Zeri e segno. $y=x\left(x^{2}-6x+9\right)=x(x-3)^{2}$: zeri in $x=0$ e $x=3$ (doppio). Per $x<0$ è $y<0$; per $x>0$ ($x\neq3$) è $y>0$, con $x=3$ tangente all’asse. Estremi. $y'=3x^{2}-12x+9=3(x-1)(x-3)$, che si annulla in $x=1$ e $x=3$. Con $y''=6x-12$: in $x=1$, $y''<0$ massimo, $y(1)=1-6+9=4$; in $x=3$, $y''>0$ minimo, $y(3)=27-54+27=0$. Flesso. $y''=6x-12=0\Rightarrow x=2$, con $y(2)=8-24+18=2$. $\boxed{\text{max }(1,4);\quad \text{min }(3,0);\quad \text{flesso }(2,2)}$

Collegamenti

Argomenti: Studio di funzione
Concetti: Massimo relativo · Punto di flesso · Segno · Studio di funzione
Competenze: Studiare funzione
Tipo di esercizio: Studio di funzione