Perché una funzione decrescente, positiva e concava non esiste

Testo

Mostra che una funzione sempre decrescente, sempre positiva e sempre concava (rivolta verso il basso) non si riesce a disegnare su tutto $\mathbb{R}$.

Soluzione

Sia $f$ definita su tutto $\mathbb{R}$, decrescente e concava, cioè $f'<0$ e $f''<0$ ovunque. Poiché $f''<0$, la derivata $f'$ è a sua volta decrescente: allora per ogni $x$ maggiore di un fissato $x_0$ si ha $f'(x) \le f'(x_0) = m < 0.$ La pendenza resta minore di una costante negativa $m$: la funzione scende almeno quanto la retta di coefficiente angolare $m$. Per $x\to+\infty$ questo costringe $f(x) \le f(x_0) + m\,(x - x_0) \xrightarrow[x\to+\infty]{} -\infty,$ quindi prima o poi $f$ diventa negativa, contraddicendo l’ipotesi che sia sempre positiva. Di conseguenza una funzione decrescente, positiva e concava su tutto $\mathbb{R}$ non può esistere: la concavità verso il basso impedisce alla curva di “appiattirsi” sopra l’asse $x$ come farebbe invece una funzione convessa (per esempio $e^{-x}$).

Collegamenti

Argomenti: Studio di funzione
Concetti: Concavita convessita · Crescenza decrescenza · Segno di una funzione
Competenze: Argomentare · Studiare funzione
Tipo di esercizio: Dimostrazione