Cubica, flesso, concavità e monotonia

Testo

Data la funzione $y = x^3 - 3x^2 - 2x + 1$:

• (a) determina dove si trova il punto di flesso, per quali $x$ il grafico è concavo (rivolto verso il basso) e per quali è convesso (rivolto verso l’alto);
• (b) determina per quali $x$ la funzione è crescente e per quali è decrescente.

Soluzione

(a) Concavità e flesso. $y' = 3x^2 - 6x - 2$ e $y'' = 6x - 6$. $y''=0 \iff x=1$. Per $x<1$ si ha $y''<0$ (concava), per $x>1$ si ha $y''>0$ (convessa): in $x=1$ la concavità cambia, dunque è un punto di flesso.

(b) Monotonia. $y' = 3x^2 - 6x - 2 = 0$ per $x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{60}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{15}}{3} \approx -0{,}29 \ \text{e}\ 2{,}29.$ Poiché $y'$ è una parabola rivolta verso l’alto, la funzione è crescente per $x < 1-\tfrac{\sqrt{15}}{3}$ e per $x > 1+\tfrac{\sqrt{15}}{3}$, decrescente tra i due valori. $\boxed{\text{flesso in } x=1;\quad \text{convessa per } x>1,\ \text{concava per } x<1}$

Collegamenti

Argomenti: Studio di funzione
Concetti: Concavita convessita · Crescenza decrescenza · Derivata seconda · Flesso
Funzioni: Funzione polinomiale
Competenze: Derivare · Studiare funzione
Tipo di esercizio: Studio di funzione