Concavità e flesso di una funzione razionale

Testo

Studia concavità, convessità e flessi della funzione $f(x) = \frac{2x+1}{x^2}.$

Soluzione

Derivata prima. $f'(x) = -\frac{2}{x^2}-\frac{2}{x^3} = -\frac{2x+2}{x^3}.$ Si annulla per $x=-1$ (punto stazionario, da classificare studiando il segno di $f'$).

Derivata seconda. $f''(x) = \frac{4}{x^3}+\frac{6}{x^4} = \frac{4x+6}{x^4}, \qquad f''=0 \iff x = -\frac{3}{2}.$

Verifica del cambio di segno. Poiché $x^4>0$, il segno di $f''$ è quello di $4x+6$:

• per $x < -\tfrac{3}{2}$ si ha $f''<0$: funzione concava;
• per $-\tfrac{3}{2} < x < 0$ si ha $f''>0$: funzione convessa.

La concavità cambia: il punto $x=-\dfrac{3}{2}$ è un $\boxed{\text{flesso}}$.

Collegamenti

Argomenti: Studio di funzione
Concetti: Concavita convessita · Derivata seconda · Flesso
Funzioni: Funzione razionale
Competenze: Derivare · Studiare funzione
Tipo di esercizio: Studio di funzione