Convessità, concavità e flessi

La derivata seconda descrive la curvatura del grafico: dove $f''>0$ la funzione è convessa ($\cup$), dove $f''<0$ è concava ($\cap$). I punti in cui la concavità cambia sono i flessi, e si trovano cercando gli zeri di $f''$ che ne fanno cambiare il segno.

• Convessità, concavità e punti di flesso
• Come trovare i flessi

The second derivative describes the curvature of the graph: where $f''>0$ the function is convex ($\cup$), where $f''<0$ it is concave ($\cap$). The points at which the concavity changes are the inflection points, and they are found by looking for the zeros of $f''$ that make it change sign.

• Convexity, concavity and inflection points
• How to find inflection points

Mentre la derivata prima descrive la crescenza, la derivata seconda descrive la curvatura del grafico: se la funzione “tiene l’acqua” ($\cup$) o “la versa” ($\cap$).

Definizione — Convessità, concavità e flesso

Una funzione $f$ due volte derivabile è:

• convessa (“a pancia in su”, $\cup$) su un intervallo se $f''(x)\ge 0$ per ogni $x$ nell’intervallo;
• concava (“a pancia in giù”, $\cap$) se $f''(x)\le 0$.

Un punto di flesso è un punto dove la funzione cambia concavità: $f''$ passa da positiva a negativa (o viceversa).

Nel punto di flesso la concavità cambia: a sinistra la curva è convessa ($f''>0$), a destra concava ($f''<0$).

Collegamenti

Argomenti: Studio di funzione
Concetti: Concavita convessita · Derivata seconda · Flesso
Competenze: Studiare funzione · Tracciare grafico

While the first derivative describes increase, the second derivative describes the curvature of the graph: whether the function “holds water” ($\cup$) or “pours it out” ($\cap$).

Definition — Convexity, concavity and inflection

A twice-differentiable function $f$ is:

• convex (“belly up”, $\cup$) on an interval if $f''(x)\ge 0$ for every $x$ in the interval;
• concave (“belly down”, $\cap$) if $f''(x)\le 0$.

An inflection point is a point where the function changes concavity: $f''$ goes from positive to negative (or vice versa).

At the inflection point the concavity changes: to the left the curve is convex ($f''>0$), to the right concave ($f''<0$).

Links

Topics: Function study
Concepts: Concavity and convexity · Second derivative · Inflection
Skills: Studying a function · Sketching a graph

Individuare i flessi è del tutto analogo a individuare i massimi e i minimi, ma con la derivata seconda al posto della prima: si cercano i punti dove $f''$ si annulla e si verifica che cambi segno.

Proprietà — Come trovare i flessi

1. Calcolare $f''(x)$.
2. Trovare i punti dove $f''(x)=0$ (o dove $f''$ non esiste).
3. Verificare che $f''$ cambi segno attorno a quel punto. Se sì: flesso. Se no: non è un flesso (è un punto dove la concavità “si ferma” ma non cambia).

Il terzo passaggio è essenziale: come per gli estremi, l’annullarsi di $f''$ è solo una condizione necessaria. Se $f''$ non cambia segno, la concavità resta la stessa e il punto non è un flesso.

Esempio

Cerchiamo i flessi di $f(x) = \dfrac{2x+1}{x^2}$. La derivata prima $f'(x) = -\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{2}{x^3} = -\dfrac{2x+2}{x^3}$ si annulla in $x=-1$ (punto stazionario, da classificare studiando il segno di $f'$). La derivata seconda è $f''(x) = \frac{4}{x^3}+\frac{6}{x^4} = \frac{4x+6}{x^4}, \qquad f''=0 \iff x = -\frac{3}{2}.$ Poiché $x^4>0$, il segno di $f''$ è quello di $4x+6$: per $x < -\tfrac{3}{2}$ si ha $f''<0$ (concava), per $-\tfrac{3}{2} < x < 0$ si ha $f''>0$ (convessa). La concavità cambia, quindi $x=-\dfrac{3}{2}$ è un flesso.

Collegamenti

Argomenti: Studio di funzione
Concetti: Concavita convessita · Derivata seconda · Flesso
Competenze: Studiare funzione

Locating inflection points is entirely analogous to locating maxima and minima, but with the second derivative in place of the first: we look for the points where $f''$ vanishes and check that it changes sign.

Property — How to find inflection points

1. Compute $f''(x)$.
2. Find the points where $f''(x)=0$ (or where $f''$ does not exist).
3. Check that $f''$ changes sign around that point. If it does: inflection point. If not: it is not an inflection point (it is a point where the concavity “pauses” but does not change).

The third step is essential: as for extrema, the vanishing of $f''$ is only a necessary condition. If $f''$ does not change sign, the concavity stays the same and the point is not an inflection point.

Example

Let us look for the inflection points of $f(x) = \dfrac{2x+1}{x^2}$. The first derivative $f'(x) = -\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{2}{x^3} = -\dfrac{2x+2}{x^3}$ vanishes at $x=-1$ (a stationary point, to be classified by studying the sign of $f'$). The second derivative is $f''(x) = \frac{4}{x^3}+\frac{6}{x^4} = \frac{4x+6}{x^4}, \qquad f''=0 \iff x = -\frac{3}{2}.$ Since $x^4>0$, the sign of $f''$ is that of $4x+6$: for $x < -\tfrac{3}{2}$ we have $f''<0$ (concave), for $-\tfrac{3}{2} < x < 0$ we have $f''>0$ (convex). The concavity changes, so $x=-\dfrac{3}{2}$ is an inflection point.

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Topics: Curve sketching
Concepts: Concavity and convexity · Second derivative · Inflection point
Skills: Sketching a function