Massimi e minimi relativi

La derivata prima è lo strumento per individuare i massimi e i minimi relativi di una funzione. Una condizione necessaria lega ogni estremo derivabile all’annullarsi di $f'$ (punto stazionario); il test della derivata prima, osservando il cambio di segno di $f'$, distingue poi massimi, minimi e flessi a tangente orizzontale.

• Condizione necessaria per un estremo
• Test della derivata prima

The first derivative is the tool for locating the relative maxima and minima of a function. A necessary condition links every differentiable extremum to the vanishing of $f'$ (stationary point); the first derivative test, by observing the sign change of $f'$, then distinguishes maxima, minima and inflections with a horizontal tangent.

• Necessary condition for an extremum
• The first derivative test

Il calcolo differenziale offre uno strumento potente per individuare i punti di massimo e di minimo di una funzione: la derivata prima. Il primo risultato lega la presenza di un estremo all’annullarsi della derivata.

Proprietà — Condizione necessaria

Se $x_0$ è un punto di massimo o minimo relativo di $f$ e $f$ è derivabile in $x_0$, allora $f'(x_0)=0$.

Un punto in cui la derivata si annulla si chiama punto stazionario. La proprietà dice quindi che ogni estremo relativo “interno” e derivabile è necessariamente un punto stazionario: per cercare i massimi e i minimi possiamo limitarci a esaminare i punti dove $f'(x)=0$.

Attenzione

Il viceversa è falso: $f'(x_0)=0$ non implica che $x_0$ sia un estremo. Esempio: $f(x)=x^3$ ha $f'(0)=0$ ma $x=0$ è un flesso, non un estremo.

Trovare i punti stazionari è dunque solo il primo passo: occorre poi un criterio che distingua i massimi, i minimi e i flessi a tangente orizzontale.

Collegamenti

Argomenti: Studio di funzione
Concetti: Derivata prima · Massimi minimi relativi · Punto stazionario
Metodi: Massimo minimo derivata
Competenze: Derivare

Differential calculus offers a powerful tool for locating the maximum and minimum points of a function: the first derivative. The first result links the presence of an extremum to the vanishing of the derivative.

Property — Necessary condition

If $x_0$ is a relative maximum or minimum point of $f$ and $f$ is differentiable at $x_0$, then $f'(x_0)=0$.

A point where the derivative vanishes is called a stationary point. The property therefore says that every “internal” differentiable relative extremum is necessarily a stationary point: to look for maxima and minima we can limit ourselves to examining the points where $f'(x)=0$.

Warning

The converse is false: $f'(x_0)=0$ does not imply that $x_0$ is an extremum. Example: $f(x)=x^3$ has $f'(0)=0$ but $x=0$ is an inflection point, not an extremum.

Finding the stationary points is therefore only the first step: a criterion is then needed to distinguish maxima, minima and inflections with a horizontal tangent.

Links

Topics: Function study
Concepts: First derivative · Relative maxima and minima · Stationary point
Methods: Maximum minimum via derivative
Skills: Differentiating

Una volta trovati i punti stazionari, il test della derivata prima stabilisce di che tipo sono, osservando come cambia il segno di $f'$ attorno a ciascuno di essi.

Proprietà — Condizione sufficiente (test della derivata prima)

Se $f'(x_0)=0$ e:

• $f'$ passa da $+$ a $-$ attorno a $x_0$ $\implies$ massimo relativo;
• $f'$ passa da $-$ a $+$ $\implies$ minimo relativo;
• $f'$ non cambia segno $\implies$ flesso a tangente orizzontale (né max né min).

L’idea è intuitiva: dove $f'>0$ la funzione cresce, dove $f'<0$ decresce. Se prima cresce e poi decresce siamo in cima a una “gobba” (massimo); se prima decresce e poi cresce siamo in fondo a una “valle” (minimo); se il segno non cambia la funzione riprende la stessa monotonia e il punto è un flesso orizzontale.

I tre comportamenti di un punto stazionario: massimo ($f'$ da $+$ a $-$), minimo ($f'$ da $-$ a $+$) e flesso a tangente orizzontale ($f'$ non cambia segno).

Collegamenti

Argomenti: Studio di funzione
Concetti: Crescenza decrescenza · Flesso · Massimi minimi relativi · Punto stazionario
Metodi: Massimo minimo derivata
Competenze: Studiare funzione · Tracciare grafico

Once the stationary points have been found, the first derivative test establishes what type they are, by observing how the sign of $f'$ changes around each of them.

Property — Sufficient condition (first derivative test)

If $f'(x_0)=0$ and:

• $f'$ goes from $+$ to $-$ around $x_0$ $\implies$ relative maximum;
• $f'$ goes from $-$ to $+$ $\implies$ relative minimum;
• $f'$ does not change sign $\implies$ inflection with horizontal tangent (neither max nor min).

The idea is intuitive: where $f'>0$ the function increases, where $f'<0$ it decreases. If it first increases and then decreases we are at the top of a “hump” (maximum); if it first decreases and then increases we are at the bottom of a “valley” (minimum); if the sign does not change the function resumes the same monotonicity and the point is a horizontal inflection.

The three behaviours of a stationary point: maximum ($f'$ from $+$ to $-$), minimum ($f'$ from $-$ to $+$) and inflection with horizontal tangent ($f'$ does not change sign).

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Topics: Function study
Concepts: Increase and decrease · Inflection · Relative maxima and minima · Stationary point
Methods: Maximum minimum via derivative
Skills: Studying a function · Sketching a graph