Quattro derivate elementari e composte

Testo

Calcola la derivata delle seguenti funzioni, indicando lo schema di composizione quando la funzione è composta.

i) $f(x)=2x^5+1$; ii) $f(x)=x\sin x$; iii) $f(x)=e^{x^2}$; iv) $f(x)=\ln(2x)$.

Soluzione

i) Polinomio: $f'(x)=10x^4.$

ii) Regola del prodotto: $f'(x)=1\cdot\sin x+x\cos x=\sin x+x\cos x.$

iii) Composta $e^{u}$ con $u=x^2$, $u'=2x$: $f'(x)=e^{x^2}\cdot 2x=2x\,e^{x^2}.$

iv) Composta $\ln(u)$ con $u=2x$, $u'=2$ (oppure $\ln(2x)=\ln2+\ln x$): $f'(x)=\frac{1}{2x}\cdot 2=\frac1x.$

Riepilogo dei risultati: $\boxed{\;10x^4,\quad \sin x+x\cos x,\quad 2x\,e^{x^2},\quad \tfrac1x\;}$

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Derivata composta · Regole di derivazione
Competenze: Derivare
Tipo di esercizio: Calcolo derivata