Tre derivate con la regola della catena

Testo

Calcola la derivata delle seguenti funzioni, indicando lo schema di composizione quando la funzione è composta.

i) $f(x)=x^6+5x^3$; ii) $f(x)=\sin(e^x)$; iii) $f(x)=\sqrt{\tan x}$.

Soluzione

i) Polinomio, derivata termine a termine: $f'(x)=6x^5+15x^2.$

ii) Composta $\sin(u)$ con $u=e^x$, $u'=e^x$: $f'(x)=\cos(u)\,u'=e^x\cos(e^x).$

iii) $\sqrt{\tan x}=(\tan x)^{1/2}$, composta con $u=\tan x$, $u'=\sec^2 x=\dfrac1{\cos^2 x}$: $f'(x)=\tfrac12(\tan x)^{-1/2}\sec^2 x=\frac{\sec^2 x}{2\sqrt{\tan x}}=\frac{1}{2\sqrt{\tan x}\,\cos^2 x}.$

Il risultato più laborioso è quello del punto iii): $\boxed{\;f'(x)=\dfrac{\sec^2 x}{2\sqrt{\tan x}}\;}$

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Derivata composta · Regole di derivazione
Competenze: Derivare
Tipo di esercizio: Calcolo derivata