Raggio di guadagno massimo per un edificio sferico

Testo

Si progetta un edificio a forma di sfera di raggio $r$. Il costo di costruzione è proporzionale al volume, $50\ \text{€/m}^3$, mentre l’incasso è proporzionale alla superficie, $200\ \text{€/m}^2$. (a) Scrivi il guadagno netto $G(r)$ al variare del raggio. (b) Trova il raggio che rende massimo il guadagno.

Soluzione

(a) Superficie della sfera $S=4\pi r^2$, volume $V=\tfrac43\pi r^3$. Il guadagno è incasso meno costo: $G(r)=200\cdot 4\pi r^2-50\cdot\tfrac43\pi r^3=800\pi r^2-\frac{200}{3}\pi r^3.$

(b) Derivando e annullando: $G'(r)=1600\pi r-200\pi r^2=200\pi r(8-r)=0.$ Le soluzioni sono $r=0$ (banale) e $r=8$. Poiché $G''(r)=1600\pi-400\pi r,\qquad G''(8)=1600\pi-3200\pi=-1600\pi<0,$ in $r=8$ si ha un massimo. $\boxed{\;r=8\ \text{m}\;}$

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Punto stazionario
Competenze: Derivare · Ottimizzare
Tipo di esercizio: Problema di ottimizzazione