Equilibrio di una perlina su circonferenza con molla e gravità

Testo

Una perlina $P$ di massa $m=3\ \text{kg}$ è vincolata a scorrere su una circonferenza di centro $O$ (l’origine) e raggio $3$. È collegata al punto fisso $Q(1,1)$ da una molla di lunghezza a riposo nulla e costante elastica $k=60\ \text{N/m}$; l’accelerazione di gravità è $g=10\ \text{m/s}^2$. (a) Scrivi l’energia potenziale totale $U(\alpha)$, dove $\alpha$ è l’angolo che $OP$ forma con l’asse $x$. (b) Trova le posizioni di equilibrio stabile e instabile e mostra che per $\alpha\approx 26^\circ$ l’equilibrio è stabile.

Soluzione

(a) La posizione della perlina è $P=(3\cos\alpha,\,3\sin\alpha)$. Energia gravitazionale: $U_{grav}=mgy=3\cdot10\cdot3\sin\alpha=90\sin\alpha$. Lunghezza al quadrato della molla: $|PQ|^2=(3\cos\alpha-1)^2+(3\sin\alpha-1)^2=9-6\cos\alpha-6\sin\alpha+2=11-6\cos\alpha-6\sin\alpha.$ Energia elastica (molla a riposo nullo): $U_{molla}=\tfrac12 k|PQ|^2=30(11-6\cos\alpha-6\sin\alpha)=330-180\cos\alpha-180\sin\alpha$. Totale: $U(\alpha)=330-180\cos\alpha-180\sin\alpha+90\sin\alpha=330-180\cos\alpha-90\sin\alpha.$

(b) Equilibri dove $U'(\alpha)=0$: $U'(\alpha)=180\sin\alpha-90\cos\alpha=0\ \Rightarrow\ \tan\alpha=\tfrac12\ \Rightarrow\ \alpha\approx 26.57^\circ\ \text{oppure}\ \alpha\approx 206.57^\circ.$ Studio della stabilità con la derivata seconda: $U''(\alpha)=180\cos\alpha+90\sin\alpha.$

• In $\alpha\approx 26.57^\circ$: $U''\approx 180(0.894)+90(0.447)\approx 201>0$ → minimo di $U$ → equilibrio stabile.
• In $\alpha\approx 206.57^\circ$: $U''\approx 180(-0.894)+90(-0.447)\approx -201<0$ → massimo di $U$ → equilibrio instabile. $\boxed{\;\alpha_{stab}\approx 26.57^\circ\ (\text{stabile}),\qquad \alpha_{inst}\approx 206.57^\circ\ (\text{instabile})\;}$

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Derivata seconda · Punto stazionario
Competenze: Derivare · Ottimizzare
Tipo di esercizio: Problema di ottimizzazione