Stima di √1,1 con Taylor

Testo

Stimare $\sqrt{1{,}1}$ con il polinomio di Taylor di ordine $2$ di $(1+x)^{1/2}$ in $x_0 = 0$ e maggiorare l’errore con il resto di Lagrange.

Soluzione

Sviluppo di $(1+x)^{1/2}$ in $x_0=0$: $f(0)=1$, $f'(x)=\frac{1}{2}(1+x)^{-1/2}$, $f'(0)=\frac12$; $f''(x)=-\frac{1}{4}(1+x)^{-3/2}$, $f''(0)=-\frac14$. Quindi $T_2(x) = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8}.$ Con $x=0{,}1$: $T_2(0{,}1) = 1 + 0{,}05 - 0{,}00125 = \boxed{1{,}04875}$ (valore vero $\approx 1{,}048809$).

Resto di Lagrange: $R_2(x) = \dfrac{f'''(c)}{6}x^3$ con $f'''(x)=\frac{3}{8}(1+x)^{-5/2}$ e $c\in(0;0{,}1)$. Maggiorando $|f'''(c)|\le\frac{3}{8}$: $|R_2(0{,}1)| \le \frac{3/8}{6}\cdot (0{,}1)^3 = \frac{1}{16}\cdot 10^{-3} \approx 6{,}3\cdot 10^{-5}.$ L’errore effettivo ($\approx 5{,}9\cdot 10^{-5}$) è coerente con la stima.

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Polinomio di taylor · Resto di taylor
Metodi: Taylor resto lagrange
Competenze: Stimare
Tipo di esercizio: Calcolo derivata