Definizione di continuità

L’idea intuitiva di funzione “continua” è quella di un grafico che si può tracciare senza mai staccare la penna dal foglio. Per rendere precisa questa idea servono tre condizioni, tutte legate al comportamento della funzione vicino a un punto.

Definizione — Funzione continua in un punto

Una funzione $f$ è continua in un punto $x_0$ del suo dominio se e solo se valgono simultaneamente tre condizioni:

1. $f(x_0)$ è definito (il punto appartiene al dominio);
2. $\lim_{x\to x_0}f(x)$ esiste ed è finito;
3. $\lim_{x\to x_0}f(x) = f(x_0)$ (il limite coincide col valore).

Se anche solo una delle tre condizioni non è soddisfatta, $f$ ha un punto di discontinuità in $x_0$.

Le tre condizioni vanno lette in ordine: prima il punto deve esistere nel dominio, poi il limite deve esistere finito, infine i due valori — quello del limite e quello della funzione — devono coincidere. Basta che una sola salti perché la continuità si perda.

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Argomenti: Continuita
Concetti: Continuita · Discontinuita · Limite