Relazione tra successioni e funzioni reali

Successioni e funzioni reali sono strettamente legate: una successione può essere vista come la restrizione ai numeri naturali di una funzione di variabile reale.

Se $(a_n)$ deriva da una funzione $f:\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}$ per restrizione ai naturali, cioè $a_n = f(n)$, allora il limite della successione $a_n$ coincide con il limite per $x\to+\infty$ della funzione, se quest’ultimo esiste: $\lim_{x\to+\infty}f(x) = L \implies \lim_{n\to+\infty}a_n = L.$

Il viceversa, in generale, è falso: $f(x) = \sin(\pi x)$ ha $f(n) = 0$ per ogni $n\in\mathbb{N}$ (successione costante, limite $0$), ma $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ non esiste perché $f$ oscilla.

Esempio — Calcolo di un limite di successione via funzione

$a_n = n\sin(1/n)$. Consideriamo $f(x) = x\sin(1/x)$ con $x\to+\infty$ e sostituiamo $t = 1/x$ (per $x\to+\infty$ si ha $t\to 0^+$): $f(x) = \dfrac{\sin t}{t} \to 1$. Dunque $a_n\to 1$.

Collegamenti

Argomenti: Successioni
Concetti: Limite di successione
Competenze: Calcolare limiti