La successione di Fibonacci e la sezione aurea

Leonardo Pisano, detto Fibonacci («figlio di Bonaccio»), fu il più importante matematico europeo del Medioevo. Cresciuto a Bugia, sulla costa del Nordafrica, dove il padre dirigeva un fondaco di mercanti pisani, imparò dai maestri arabi il sistema di numerazione indo-arabico con le nove cifre e lo zero. Nel Liber Abaci (1202) lo introdusse in Occidente, dove i mercanti calcolavano ancora con i numeri romani e l’abaco, e mostrò con centinaia di problemi quanto fosse più potente per il commercio, il cambio delle monete e la contabilità.

In quel libro compare il problema che lo ha reso celebre: partendo da una coppia di conigli che ogni mese, una volta matura, genera una nuova coppia, il numero di coppie mese per mese è $1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ \ldots$ Ogni termine è la somma dei due precedenti, cioè la successione definita per ricorrenza $F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$. Curiosamente, la successione era già nota agli studiosi indiani (per esempio a Pingala e Hemachandra) in relazione al conteggio dei ritmi poetici, secoli prima del Liber Abaci.

Il legame con la sezione aurea fu notato solo più tardi. Già Euclide, negli Elementi, aveva definito la divisione di un segmento «in media ed estrema ragione»: il rapporto aureo $\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2} \approx 1{,}618.$ Nel Seicento Keplero osservò che il rapporto tra due numeri di Fibonacci consecutivi si avvicina sempre più a $\varphi$: $\frac{F_{n+1}}{F_n} \longrightarrow \varphi \qquad (n \to +\infty),$ un fatto che oggi si dimostra con la formula di Binet. Così un problema di conigli, nato come esercizio di aritmetica mercantile, si è rivelato una delle successioni più studiate della matematica (Boyer, Katz).

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Argomenti: Successioni
Concetti: Fibonacci · Successione · Successione per ricorrenza
Persone: Euclide · Leonardo Fibonacci · Johannes Kepler (Keplero)