Forma implicita e forma parametrica

Una curva nel piano si può rappresentare in due modi complementari.

Osservazione — Forma implicita vs forma parametrica

Una curva nel piano si rappresenta in due modi:

• forma implicita: $F(x,y)=0$ (es. $x^2+y^2-r^2=0$, $\;x^2/a^2 + y^2/b^2 - 1 = 0$).
• forma parametrica: $x=x(t)$, $y=y(t)$ (cerchio, ellisse, Lissajous, eliche).

Pregi della forma parametrica: sappiamo come, non solo dove, la curva esiste (velocità, direzione); è indispensabile per gli integrali curvilinei e per la fisica. Pregi della forma implicita: equazione unica, intersezioni dirette con altre curve. Si passa da una all’altra: implicita $\to$ parametrica per ispezione (con seni/coseni o radici); parametrica $\to$ implicita eliminando $t$.

Esempio — Eliminazione del parametro

Da $x=2\cos t$, $y=3\sin t$ ($t\in[0,2\pi)$) si ricava la forma implicita: $\cos t = x/2, \quad \sin t = y/3 \implies (x/2)^2 + (y/3)^2 = 1 \implies \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1.$ È un’ellisse con semiasse $a=2$ orizzontale e $b=3$ verticale.

Collegamenti

Argomenti: Numeri complessi
Concetti: Forma implicita · Forma parametrica · Parametrizzazione
Competenze: Modellizzare