Sensibilità, specificità, precisione

Un’applicazione importantissima della probabilità condizionata sono i test diagnostici (medici, antidoping, di qualità, ecc.). Un test non è mai perfetto: può dare falsi positivi (allarme senza malattia) o falsi negativi (malattia non rilevata).

Definiamo:

• $A$ = “il soggetto è effettivamente malato”;
• $B$ = “il test dà esito positivo”.

Le quattro combinazioni possibili sono:

	$A$ (malato)	$\overline{A}$ (sano)
$B$ (test $+$)	vero positivo ($TP$)	falso positivo ($FP$)
$\overline{B}$ (test $-$)	falso negativo ($FN$)	vero negativo ($TN$)

A partire da questa tabella si definiscono tre quantità importanti.

Definizione

• Sensibilità (o recall) $= \dfrac{TP}{TP+FN} = P(B\mid A)$: probabilità di essere positivo al test sapendo di essere malato. Un test sensibile “non si fa scappare” i malati.
• Specificità $= \dfrac{TN}{TN+FP} = P(\overline{B}\mid \overline{A})$: probabilità di essere negativo al test sapendo di essere sano. Un test specifico “non dà falsi allarmi”.
• Precisione (o valore predittivo positivo) $= \dfrac{TP}{TP+FP} = P(A\mid B)$: se il test è positivo, qual è la probabilità di essere davvero malato? È la quantità più utile per il paziente, e la domanda a cui risponde il teorema di Bayes.

Attenzione — Paradosso dei test rari

Un test con alta sensibilità e alta specificità può comunque avere bassa precisione se la malattia è rara. Questo è il famoso “paradosso dei test rari”: se solo $1$ persona su $10\,000$ è malata, anche un test al $99\%$ di sensibilità e $99\%$ di specificità produce un numero di falsi positivi paragonabile al numero di veri positivi, e $P(A\mid B)$ risulta molto più bassa di quanto ci si aspetterebbe. È lo stesso meccanismo dei test su malattie a bassa prevalenza: con una malattia allo $0{,}1\%$, sensibilità $99\%$ e specificità $98\%$, la precisione era solo del $4{,}7\%$.

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Precisione · Probabilita condizionata · Sensibilita · Specificita · Teorema di bayes
Competenze: Calcolo probabilita