Somma di una riga del triangolo di Tartaglia

Testo

Dimostra che la somma di tutti i coefficienti binomiali della riga $n$ del triangolo di Tartaglia vale $2^{n}$, cioè $\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\dots+\binom{n}{n} = 2^{n},$ e calcola tale somma per $n=10$.

Soluzione

Partiamo dallo sviluppo del binomio di Newton: $(a+b)^{n} = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{k}b^{\,n-k}.$ Ponendo $a=b=1$ il primo membro diventa $2^{n}$, mentre il secondo diventa proprio la somma dei coefficienti della riga: $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} = 2^{n}.$ Interpretazione combinatoria: $2^{n}$ è il numero totale di sottoinsiemi di un insieme di $n$ elementi, e $\binom{n}{k}$ conta quelli con esattamente $k$ elementi; sommando su tutti i $k$ si ottengono tutti i sottoinsiemi. Per $n=10$: $S_{10} = 2^{10} = \boxed{1024}.$

Collegamenti

Argomenti: Combinatoria
Concetti: Binomio di newton · Coefficiente binomiale · Triangolo di tartaglia
Metodi: Binomio newton · Triangolo tartaglia
Competenze: Calcolo combinatorio · Dimostrare
Tipo di esercizio: Problema combinatorio