Coefficiente nello sviluppo di (2x-3y)^12

Testo

Determina il coefficiente del termine $x^{7}y^{5}$ nello sviluppo di $(2x - 3y)^{12}$.

Soluzione

Per il binomio di Newton, il termine generico dello sviluppo di $(A+B)^{n}$ è $\binom{n}{k}A^{k}B^{n-k}$. Qui $A=2x$, $B=-3y$, $n=12$; vogliamo $x^{7}y^{5}$, quindi $k=7$ (e $n-k=5$): $\binom{12}{7}(2x)^{7}(-3y)^{5} = \binom{12}{7}\,2^{7}(-3)^{5}\,x^{7}y^{5}.$ Calcoliamo il coefficiente numerico con $\binom{12}{7}=792$, $2^{7}=128$, $(-3)^{5}=-243$: $c = 792 \cdot 128 \cdot (-243) = \boxed{-24\,634\,368}.$

Collegamenti

Argomenti: Combinatoria
Concetti: Binomio di newton · Coefficiente binomiale
Metodi: Binomio newton
Competenze: Calcolo combinatorio · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema combinatorio